浅谈初中数学线段之和最值问题

发布于:2021-12-07 12:58:38

浅谈初中数学线段之和最值问题
*年来,在全国各地出现的中考试题的*面几何最值问题中,呈现出变化多、涉及面广、形式灵活的景象,对学生来讲是 个难点;如果深入思考,可以发现:这类试题的命制都是立足于教材,解决途径都是运用转化的思想“化折为直” 。本文中, 笔者根据*几年的中考试题,结合浙教版教材和自己的教学体会,谈谈初中数学中求线段之和最值的求解策略。 1.直接应用定(公)理求最值 *面几何解决最短线路问题时常用的公理(定理):①两点之间线段最短.②三角形的两边之和大于第三边, 两边之差小于 第三边(②是由①得出) ;③直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短. 1.1 应用两点之间线段最短 教材链接:七上 7.3 线段的长短作业题: 如图,A、B、C、D 表示 4 个村庄.村民们准备合打一口水井, (1)略(2)你能给出一 庄的距离之和最小的方案吗?若能,请标出水井的位置,并说明理由. 解题分析: 教材作业题中,因点 D 与点 B、点 A 与点 C 是定点,当水井打在 AC 与 BD 的交点时,水 离之和最小,直接利用“两点之间线段最短”的原理。 中考链接: (2009 山东潍坊)已知边长为 a 的正三角形 ABC(一象限),两顶点 直角坐标系的 x 轴,y 轴的正半轴上滑动,点 C 在第一象限,连接 OC,求 OC 的长的最 解题分析:潍坊的这一试题对教材进行了拓展:点 C 为动点,直接相联不可 直角三角形斜边上的中线长和等边三角形边上的中线也是定值,所以设 AB 中点为 下 OP+PC>OC,当 O、P、C 三点一线时 OC=OP+PC 最大.

D A

C

中使水井到各村

B 井到各村庄的距 A,B 分别在*面 大值. 能解决, 但因为 P,在一般情况

求解策略:教材的模型是在两定点之间求最小值,根据“两点之间线段最短” ,只要把两定点直接相连,对无法或较难量 化的两点间距离则可以利用几何图形的性质转化为“折线和” ,再利用三角形三边关系或两点间线段最短可得出最值. 1.2 应用垂线段最短 教材链接:七上 7.7 相交线(2)作业题 如图,直线 l 表示一段河道,点 A 表示集镇,图上距离与实际距离之 比为 1︰2000 000.现 要从河 l 向集镇 A 引水,问沿怎样的路线开挖水渠,才能使水渠的长度 最短??? 解题分析:教材作业题解决思路是过点 A 向垂直于水渠的方向开挖 水渠,水渠长最短 . 直接利用“直线外一点到直线的所有线中垂线段最短”的原理. 试题链接:2010 台湾 A 如图,△ABC 中,有一点 P 在 AC 上移动.若 AB=AC=5,BC=6, 則 AP?BP?CP 的最小值为何? (A) 8 (B) 8.8 (C) 9.8 (D) 10 P 解题分析:台湾此题 AP?PC=AC 为定值 5,从而三线段和转化 为求 BP 最小值,因为 B 为定点,P 为 AC 上一动点,所以 BP 最小值就是定点 B 到 AC 的垂线段. 求解策略: 教材的模型是已知一定点和一定直线求最小值.解 B C 答此类试题只要透过问题找到本 质,剔除一些不变的线段(和)转化为一定点到一定直线的距离, 再利用“直线外一点到直线的所有 线中垂线段最短” 即可得出最小值. 在*面几何求最值这类问题中,应用轴对称变换、*移变换和旋转变换这三种图形变换及性质,可以将那些分散、远离的 条件转移到适当的位置上,得以相对集中后,再应用上述定(公)理, 便可迎刃而解. 2.结合图形变换求最值 2. 1 应用轴对称变换把直线同侧的线段和转化为异侧线段之和 2.1.1 一定直线+两定点+一动点 教材链接:浙教版科学七下 1.5 光的反射和折射 基本模型 1: (将军饮马问题)白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河。 诗中隐含着一个有趣 的数学问题:诗中将军在观望烽火之后从山脚上的 A 点出发,奔向交河 旁边的 P 点饮马,饮 马后再到 B 点宿营,试问怎样走,才能使总的路程最短? 如图,在定直线 l 同侧有两个定点 A、B,在定直线 l 上有一动点 P,请找到使 PA+PB 最短的点 P 位置. 思路分析: 如图 2 作 A 关于直线 l 的对称点 A ,连接 A B 交 l 于 p,则 p 点即为所求使
' 的距离(此题过 B 作关于 l 的对称点 B 也可,方法都是一样的. ' '

AP+BP 为最短

中考链接: 2010 湖北鄂州市 如图所示,四边形 OABC 为正方形,边长为 6,点 A、C 分别在 x 轴, y 轴 点 D 在 OA 上,且 D 点的坐标为 ( 2,0) , P 是 OB 上的一动点,试求 PD ? PA 和 y 的正半轴上, 的最小值是

A. 2 10

B.

10

C. 4

D. 6

解题分析:由已知得点 P 为定直线 OB 上的动点,点 D 和点 A 为两个定点,符合模型;用正方形的轴对称性可知点 A 关 于 OB 的对称点就是点 C,因此 PD ? PA 和的最小值就是 PD ? PC 的最小值,而点 A 和点 C 都是定点,根据“两点之间线段最 短”可得 DC 即为所求. 求解策略:此类试题往往把背景变换成角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等,但都有一个 “轴 对称性”的图形共同点,解题时只要从变换的背景中提取“一定直线+两定点+一动点”的数学模型,再通过找定直线的对称点 把同侧线段和转化为异侧线段和,利用“两点间线段最短” ,实现“折”转“直”即可解决.若设问是求三角形周长或四边形周 长最值,则必含有定长线段,依然可以转化为两线段和的最值. 2.1.2 两定直线+一定点+一动点 基本模型 2:如图 1,已知两定直线 a 和 l,其中在定直线 l 上有一个定点 A,在定直线 a 上有一动点 P,请找到使 PA 和点 P 到直线 l 距离之和的最小值的点 P 位置.

思路分析: 如图 2 作 A 关于直线 a 的对称点 A , 过 A 作 A H 垂直 l 于点 H,则 p 点即为所求使 AP 和 P 到直线 l 距离和为最短的点. 中考链接:2009 绍兴 定义一种变换: *移抛物线 F1 得到抛物线 F2 , 使 F2 经过 F1 的顶点 A . 设 F2 的对称轴分别交 F1,F2 于点 D,B , 点C 是 点 A 关于直线 BD 的对称点. (1) 、 (2)略(3)如图 3,若 F1 : y ? y D H A N P B O 图1 x C F1 F2 D C NP B O 图2 A x O (第 24 题图 3) 3) A B x y F1
' '

'

1 2 2 7 x ? x ? ,经过变换后, AC ? 2 3 ,点 P 是直线 3 3 3
y D P C F1 F2

AC 上的动点,求点 P 到点 D 的距离和到直线 AD 的距离之和的最小值.

解题分析: 容易证得菱形 ABCD ,由菱形对称性可知 PD ? PB .如图 1, 作 PH ? AD 交 AD 于点 H , 则 PD ? PH ? PB ? PH . 要使 PD ? PH 最小, 只要使 PB ? PH 最小,此最小值是点 B 到 AD 的距离, 即 ?ABD 边 AD 上的 高h . (∵ DN ? 1 , AN ? 3 ,

DB ? AC ,∴ ?DAN ? 30? ,故
∴ 最小值为 3 .

?ABD 是等边三角形. ∴ h ?

3 AD ? 3 2

( C 在点 A 的右侧和左侧同理) . 求解策略:解决此类题的关键是在轴对称背景中提取模型条件,通过找定直线的对称点把同侧线段和转化为异侧线段和, 利用“点到直线垂线段最短” ,实现“折”转“直”时,最小值就得到。 2.1.2 两定直线+一定点+两动点 基本模型 3:如图,已知∠AOB=45°,其中有一定点 P,在 AO,BO 的边上有两动点 MN,是否存在点 MN,使得△PMN 的周长 最小

A M P
o

P1 M

A

P

N P2

B

o

N

B

解题分析:要求△PMN 周长的最小值,其实就是求 PM+PN+MN 的最小值,根据基本模型 2,作 P 关于 OA 的对称点 P1,作 P 关于 OB 的对称点 P2,连接 P1 P2 交 OA,OB 于点 M,N,则 PM+PN+MN 最小,即△PMN 的周长最小。 2. 2.应用*移变换将无交点的两线段之和转化为“将军饮马问题” 中的两线段之和 教材链接:浙教版七下 2.6 图形变换的简单应用作业题:

“要在一条河上架一座桥(桥通常与河岸垂直),小聪小明小慧分别提供了一种方案,哪一种方案能使从 A 地到 B 地的路程最 短?请说明理由.” (建桥问题) 思路分析:小明的方案能使从 A 到 B 地的路程最短.方法是:将 B 点向下*移到 M,使 B M 的长等于桥长;连结 A、M 交 b 于点 D,过点 D 作 a 的垂线,交 a 于点 C,则 CD 是桥所在的位置. 基本模型 4;两定点+一定直线+同侧两定点 如图 1,已知两定点 A、B 和定直线 L,其中在定直线上有两个定距离的动点 A,B 请在直线 L 上找到使 AC+BD 值最小的点 C 和点 D 的位置.

思路分析:如图 2,作点 B 的对称点 B ,过点 A 作 AA ∥L,且 AA =CD,连结 A B 与直线 L 交点即为所求的点 D 位置,点 C 位置随之也就确定. 该模型是教材的变式。 中考链接: 2010 天津: 在*面直角坐标系中,矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点,顶点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上,OA ? 3 ,OB ? 4 , D 为边 OB 的中点.(Ⅰ)略(Ⅱ)若 E 、 F 为边 OA 上的两个动点,且 EF ? 2 ,当四边形 CDEF 的周长最小时,求点 E 、 F 的坐标.

'

'

'



'

解题思路: 如图,由于 CD 和 EF 是两定长线段,因此,四边形 CDEF 的周长最小值其实就是 DE+CF 的最小值.作点 D 关 于 x 轴的对称点 D? ,在 CB 边上截取 CG ? 2 ,连接 D?G 与 x 轴交于点 E ,在 EA 上截取 EF ? 2 .∵ GC∥EF,GC ? EF ,∴ 四 边形 GEFC 为*行四边形,有 GE ? CF .又 DC 、 EF 的长为定值,∴ 此时得到的点 E 、 F 使四边形 CDEF 的周长最小. ∵ 由 Rt ?D ?OE ∽Rt ?D ?BG ,可得 OE ?

1 1 7 1 .∴ OF ? OE ? EF ? ? 2 ? .∴ 点 E 的坐标为( ,0) ,点 F 的坐 3 3 3 3

标为(

7 ,0).天津试题是模型的变式,区别在于把定直线异侧不“聚头”的两线段变化成定直线同侧不“聚头”的两线段. 3

解决过程中多了一次轴对称变换. 求解策略:此类题是求定直线同侧未连接两线段和的最小值,首先需要用轴对称变换转化成“建桥问题”模型后,再用* 移变换将未连接的两线段在定直线上“聚头” ,等量转化为折线,利用“两点间线段最短” ,实现“折”转“直”找到其中一个 点的位置,另一点位置也随之找到. 2.3 应用旋转变换将交于同一点的三线段之和改变位置等量转化为两定点间的折线之和 教材链接:浙教版八下课本第 82 页: 你听说过费马点吗???费马点有许多有趣并且有意义的性质??把你的探究结果写成一篇小论文, 并通过与同学交流来 修改完善你的小论文. 中考链接: 2010 福建宁德 如图, 四边形 ABCD 是正方形, △ABE 是等边三角形, M 为对角线 BD (不含 B 点) 上任意一点, 将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到 BN,连接 EN、AM、CM.⑴略⑵ ①略②当 M 点在何处时,AM+BM+CM 的值最小,并说明理由;⑶ 略

A D N E M B

解 题 分 析:根据旋转变换的性质可得:EN=AM,△BNM 为等边三角形推的 MN=BN,此时 C AM+BM+CM 的最小值转化为求“三折线”EN+NM+MC 的最小值.根据“两点之间线段最短” EN+NM+MC 等于 CE 时最小.所以,当 M 位于 BD 与 CE 交点时,AM+BM+CM 的值最小,即等于 EC 的长. 求解策略: 此类试题的模型是: 三条聚在一起的线段, 求线段和的最小值; 解决策略是利用旋转变换, 把如图 1 所求的 “相 聚于同一点的三条线段”转化为如图 2“两定点间的三折线” ;根据“两点之间线段最短”可知两定点的连线长即为所求的线 段和最小值.

中考试题依托的是教材.试题命制往往有从教材中提取模型、类比模型、变式模型三类.作为教师,不管在*时教学还是在 中考复*中,应立足教材,深挖教材,拓展例、*题及重视学生的探究;作为学生,解题不在多,真正掌握方法就行!所以, 找到变幻万千的试题背后最本质的原理或模型,才能发展思维,提升能力;因此,重视解题后的反思及整理才是学*之根本.


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